Mi hijo siempre que tose, vomita y después de vomitar se pone frío y la piel pálida y sudorosa.

El vómito después de la tos es normal debido a que la constante irritación y el reflejo pueden generar vómito. La piel fría y pálida también es una respuesta esperable del organismo posterior a un episodio de vómito.
Lo importante es que no haya pérdida del conocimiento, vómito con sangre o algún otro síntoma asociado.