El 21 de mayo me apliqué el anticonceptivo inyectable de 3 meses, el 21 de este mes -agosto- se vencerá... ¿es posible que lo aplique el 12 (10 días antes de la fecha)?

No es recomendable que lo aplique con tantos días de antelación puesto que los efectos secundarios pueden ser mayores. Recuerde que puede aplicarlo 3 días antes o 3 días después del 21 de mayo.
También puede hacer el cambio a otro método que pueda tomar por vía oral o uno de uso vaginal; esto en caso de que para la fecha indicada no tenga cerca un sitio donde le apliquen la inyección.